ધારો કે વિધેય f(x) = begin{cases} -3ax^2 - 2, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સતત હોવું જોઈએ અને ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.$x = 1$ આગ

Vedclass · Accepted Answer

$34$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સતત હોવું જોઈએ અને ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.$x = 1$ આગળ સાતત્ય: $\lim_{x 	o 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x 	o 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.સાતત્યના સમીકરણમાં $b = -6a$ મૂકતા: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.$a > 1$ હોવાથી,$a = 2$ મળે. તેથી $b = -6(2) = -12$.આમ,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x પ્રદેશ $y = f(x)$ અને $y = -20$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. છેદબિંદુઓ શોધતા:$x $x \geq 1$ માટે: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.$\alpha + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 22, \beta = 12$ મળે.તેથી,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

Similar Questions

જો $f(x)=x^{2/3}, x \geq 0$ હોય, તો વક્ર $y=f(x)$ અને ત્રણ રેખાઓ $y=x, x=1$ અને $x=8$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પરવલય $y=\frac{x^2}{4 a}$ અને વક્ર $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

$y = \cos^{-1}(\cos x)$, $x \in [2\pi, 4\pi]$, $x$-અક્ષ અને $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$ દ્વારા ઘેરાયેલી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$y^2=x$ અને $y=x$ વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module